Zbiory liczbowe i działania

Zbiory liczbowe i działania

1. Zbiory liczbowe — przegląd

W matematyce wyróżniamy następujące podstawowe zbiory liczbowe:

| Symbol | Nazwa | Przykłady | Opis |
|--------|-------|-----------|------|
| ℕ | Liczby naturalne | 0, 1, 2, 3, … | Liczby używane do liczenia |
| ℤ | Liczby całkowite | …, −2, −1, 0, 1, 2, … | Naturalne + ujemne |
| ℚ | Liczby wymierne | ½, −¾, 0.333…, 7 | Ułamki p/q, q ≠ 0 |
| 𝕀 | Liczby niewymierne | √2, π, e | Nieskończone rozwinięcia nieokresowe |
| ℝ | Liczby rzeczywiste | Wszystkie powyższe | ℚ ∪ 𝕀 |
| ℂ | Liczby zespolone | 3 + 2i, −i | a + bi, gdzie i² = −1 |

Zachodzi relacja: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

---

2. Własności działań na liczbach rzeczywistych

Niech a, b, c ∈ ℝ. Wówczas:

Dodawanie i mnożenie spełniają:

• Przemienność: a + b = b + a oraz a · b = b · a
• Łączność: (a + b) + c = a + (b + c) oraz (a · b) · c = a · (b · c)
• Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c
• Element neutralny dodawania: a + 0 = a
• Element neutralny mnożenia: a · 1 = a
• Element przeciwny: a + (−a) = 0
• Element odwrotny (dla a ≠ 0): a · (1/a) = 1

---

3. Wartość bezwzględna

Definicja:

|a| = a, gdy a ≥ 0 oraz |a| = −a, gdy a < 0

Własności:

• |a| ≥ 0 dla każdego a ∈ ℝ
• |a · b| = |a| · |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (nierówność trójkąta)
• |a − b| oznacza odległość między a i b na osi liczbowej

Przykład: |−5| = 5, |3| = 3, |0| = 0

---

4. Potęgowanie i pierwiastkowanie

Potęgowanie — wzory:

• a^m · a^n = a^(m+n)
• a^m / a^n = a^(m−n) (a ≠ 0)
• (a^m)^n = a^(m·n)
• (a · b)^n = a^n · b^n
• a^0 = 1 (a ≠ 0)
• a^(−n) = 1/a^n

Pierwiastkowanie:

• ⁿ√a = a^(1/n)
• ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b
• ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b

Przykład z rozwiązaniem:

Uprość: √48 + √27 − √75

√48 = √(16 · 3) = 4√3
√27 = √(9 · 3) = 3√3
√75 = √(25 · 3) = 5√3

Wynik: 4√3 + 3√3 − 5√3 = 2√3

---

5. Liczby zespolone — wprowadzenie (rozszerzenie)

Jednostka urojona: i² = −1, czyli i = √(−1)

Liczba zespolona: z = a + bi, gdzie a — część rzeczywista, b — część urojona.

Moduł liczby zespolonej: |z| = √(a² + b²)

Sprzężenie: jeśli z = a + bi, to z̄ = a − bi

---

Częste błędy

• √(a² + b²) ≠ a + b (np. √(9 + 16) = √25 = 5, a nie 3 + 4 = 7)
• a^0 = 1 dla a ≠ 0, ale 0^0 jest nieokreślone
• |a + b| ≤ |a| + |b|, a nie |a + b| = |a| + |b|