Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Definicje, wykresy, własności logarytmów, równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
1. Funkcja wykładnicza
Definicja: f(x) = aˣ, gdzie a > 0, a ≠ 1
Własności:
- Dziedzina: ℝ
- Zbiór wartości: (0, +∞)
- Zawsze f(x) > 0
- f(0) = 1 (punkt (0, 1) na każdym wykresie)
| Warunek | Monotoniczność |
|---------|---------------|
| a > 1 | Rosnąca |
| 0 < a < 1 | Malejąca |
Przykłady: f(x) = 2ˣ (rosnąca), f(x) = (½)ˣ (malejąca)
---
2. Logarytm — definicja
log_a(b) = c ⟺ aᶜ = b
(a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Słownie: „logarytm o podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b."
Przypadki szczególne:
- log_a(1) = 0 (bo a⁰ = 1)
- log_a(a) = 1 (bo a¹ = a)
- log₁₀(x) = lg x (logarytm dziesiętny)
- logₑ(x) = ln x (logarytm naturalny, e ≈ 2,718)
---
3. Własności logarytmów
| Własność | Wzór |
|----------|------|
| Logarytm iloczynu | log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y) |
| Logarytm ilorazu | log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y) |
| Logarytm potęgi | log_a(xⁿ) = n · log_a(x) |
| Zamiana podstawy | log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) |
| Wzór na odwrotność | log_a(b) = 1 / log_b(a) |
---
4. Funkcja logarytmiczna
f(x) = log_a(x), gdzie a > 0, a ≠ 1
- Dziedzina: (0, +∞)
- Zbiór wartości: ℝ
- Przechodzi przez punkt (1, 0)
- Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej
| Warunek | Monotoniczność |
|---------|---------------|
| a > 1 | Rosnąca |
| 0 < a < 1 | Malejąca |
---
5. Równania wykładnicze
Metoda: Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy.
Przykład 1: 2^(x+1) = 8
2^(x+1) = 2³ → x + 1 = 3 → x = 2
Przykład 2: 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0
Podstawienie: t = 2ˣ (t > 0), wtedy 4ˣ = (2²)ˣ = t²
t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0
t = 4 (bo t > 0) → 2ˣ = 4 → x = 2
---
6. Równania logarytmiczne
Ważne: Zawsze sprawdzaj dziedzinę (argument logarytmu > 0)!
Przykład: log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 3
Dziedzina: x + 3 > 0 i x − 1 > 0 → x > 1
log₂[(x + 3)(x − 1)] = 3
(x + 3)(x − 1) = 2³ = 8
x² + 2x − 3 = 8
x² + 2x − 11 = 0
Δ = 4 + 44 = 48 → x = (−2 + 4√3)/2 = −1 + 2√3 ≈ 2,46
Sprawdzenie dziedziny: −1 + 2√3 ≈ 2,46 > 1 ✓
Odrzucamy x = −1 − 2√3 < 1.
---
Częste błędy
- log_a(x + y) ≠ log_a(x) + log_a(y) (to nie jest logarytm iloczynu!)
- Logarytm jest zdefiniowany tylko dla argumentu DODATNIEGO
- Przy równaniach logarytmicznych ZAWSZE sprawdzamy dziedzinę
- ln to logarytm naturalny (podstawa e), a lg to logarytm dziesiętny (podstawa 10)