Wielomiany
Definicja wielomianu, dzielenie wielomianów, schemat Hornera, twierdzenie Bézouta, pierwiastki wymierne.
Wielomiany
1. Definicja
Wielomian stopnia n to wyrażenie postaci:
W(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
gdzie aₙ ≠ 0, a₀, a₁, …, aₙ ∈ ℝ.
- aₙ — współczynnik wiodący
- a₀ — wyraz wolny
- n — stopień wielomianu (deg W)
---
2. Działania na wielomianach
Dodawanie i odejmowanie: dodajemy wyrazy tego samego stopnia.
(3x³ + 2x − 1) + (x³ − 5x + 4) = 4x³ − 3x + 3
Mnożenie: mnożymy każdy wyraz jednego przez każdy wyraz drugiego.
(x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6
Stopień iloczynu: deg(P · Q) = deg P + deg Q
---
3. Dzielenie wielomianów z resztą
Dla wielomianów W(x) i D(x) (D ≠ 0) istnieją jednoznaczne Q(x) (iloraz) i R(x) (reszta):
W(x) = D(x) · Q(x) + R(x), gdzie deg R < deg D
---
4. Schemat Hornera
Pozwala szybko dzielić wielomian W(x) przez (x − c) i obliczać W(c).
Przykład: W(x) = 2x³ − 3x² + 0x − 5, dzielenie przez (x − 2)
| | 2 | −3 | 0 | −5 |
|---|---|---|---|---|
| c = 2 | 2 | 2·2+(−3)=1 | 1·2+0=2 | 2·2+(−5)=−1 |
Iloraz: 2x² + x + 2, Reszta: −1
Zatem W(2) = −1 (twierdzenie Bézouta!)
---
5. Twierdzenie Bézouta
Reszta z dzielenia W(x) przez (x − c) jest równa W(c).
Wniosek: c jest pierwiastkiem W(x) ⟺ reszta = 0 ⟺ W(c) = 0 ⟺ (x − c) | W(x)
---
6. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeśli wielomian W(x) = aₙxⁿ + … + a₀ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny p/q (ułamek nieskracalny), to:
- p dzieli a₀ (wyraz wolny)
- q dzieli aₙ (współczynnik wiodący)
Przykład: W(x) = 2x³ − x² − 5x − 2.
Kandydaci na pierwiastki: ±1, ±2, ±½
W(2) = 16 − 4 − 10 − 2 = 0 → x = 2 jest pierwiastkiem!
Dzielimy: W(x) = (x − 2)(2x² + 3x + 1) = (x − 2)(2x + 1)(x + 1)
Pierwiastki: x = 2, x = −½, x = −1
---
7. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe
Wielomian stopnia n nad ℝ ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Jeśli x₁, x₂, …, xₙ to wszystkie pierwiastki, to:
W(x) = aₙ(x − x₁)(x − x₂)…(x − xₙ)
---
Częste błędy
- Wielomian stopnia n ma CO NAJWYŻEJ n pierwiastków, nie dokładnie n
- W schemacie Hornera: pamiętaj o współczynniku = 0, jeśli brak danego wyrazu
- Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych daje tylko KANDYDATÓW — każdego trzeba sprawdzić!