Układy równań

Układy równań

1. Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Postać ogólna:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

---

2. Metoda podstawiania

Przykład:

2x + y = 7 (I)
x − y = 2 (II)

Krok 1: Z (II) wyznaczamy x: x = y + 2
Krok 2: Podstawiamy do (I): 2(y + 2) + y = 7
Krok 3: 2y + 4 + y = 7 → 3y = 3 → y = 1
Krok 4: x = 1 + 2 = 3

Rozwiązanie: (x, y) = (3, 1)

---

3. Metoda przeciwnych współczynników (eliminacji)

Przykład:

3x + 2y = 12 (I)
5x − 2y = 4 (II)

Krok 1: Dodajemy równania stronami (współczynniki przy y się redukują):
8x = 16 → x = 2

Krok 2: Podstawiamy x = 2 do (I): 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3

Rozwiązanie: (x, y) = (2, 3)

---

4. Metoda wyznacznikowa (Cramera)

Dla układu:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Wyznacznik główny:
W = a₁·b₂ − a₂·b₁

Wyznaczniki:
Wₓ = c₁·b₂ − c₂·b₁
Wᵧ = a₁·c₂ − a₂·c₁

Jeśli W ≠ 0: x = Wₓ/W, y = Wᵧ/W

---

5. Interpretacja geometryczna

Każde równanie liniowe ax + by = c opisuje prostą na płaszczyźnie.

| Przypadek | Geometria | Rozwiązanie |
|-----------|-----------|-------------|
| W ≠ 0 | Proste przecinające się | Jedno rozwiązanie |
| W = 0, Wₓ = 0, Wᵧ = 0 | Proste pokrywające się | Nieskończenie wiele |
| W = 0, Wₓ ≠ 0 lub Wᵧ ≠ 0 | Proste równoległe | Brak rozwiązań |

---

6. Układy trzech równań

Przykład:

x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 5

Rozwiązujemy metodą eliminacji: z (I) i (II): 3x + 2z = 9; z (I) i (III): 2y − 2z = −1 itd.
Po rozwiązaniu: x = 1, y = 2, z = 3

---

Częste błędy

• Zapominanie o przemnożeniu OBIE strony równania przez tę samą liczbę
• Błędy w znakach przy eliminacji
• W metodzie Cramera: W = 0 nie oznacza od razu braku rozwiązań — trzeba sprawdzić Wₓ i Wᵧ