Trygonometria

Trygonometria

1. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym α:

• sin α = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna = a/c
• cos α = przyprostokątna / przeciwprostokątna = b/c
• tg α = przeciwprostokątna / przyprostokątna = a/b = sin α / cos α
• ctg α = przyprostokątna / przeciwprostokątna = b/a = cos α / sin α

---

2. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|-----|------|------|------|------|
| sin α | 0 | ½ | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 |
| tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
| ctg α | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 |

Wskazówka do zapamiętania: sin: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2

---

3. Okrąg jednostkowy (miara łukowa)

Okrąg o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych. Punkt P na okręgu: P = (cos α, sin α).

Zamiana stopni na radiany:
α[rad] = α[°] · π/180

| Stopnie | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---------|-----|------|------|------|------|-------|-------|-------|
| Radiany | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |

---

4. Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach

| Ćwiartka | sin | cos | tg | ctg |
|----------|-----|-----|-----|-----|
| I (0°–90°) | + | + | + | + |
| II (90°–180°) | + | − | − | − |
| III (180°–270°) | − | − | + | + |
| IV (270°–360°) | − | + | − | − |

Zasada zapamiętywania: „Wszyscy Studenci Tego Chcą" → I: wszystkie +, II: sin +, III: tg +, IV: cos +

---

5. Tożsamości trygonometryczne

Jedynka trygonometryczna:
sin²α + cos²α = 1

Wzory redukcyjne (najważniejsze):

• sin(180° − α) = sin α
• cos(180° − α) = −cos α
• sin(90° − α) = cos α
• cos(90° − α) = sin α

Wzory na sumę i różnicę kątów:

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

Wzory na kąt podwójny:

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α

---

6. Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

(R — promień okręgu opisanego na trójkącie)

Twierdzenie cosinusów:
c² = a² + b² − 2ab · cos C

(Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa — gdy C = 90°, cos 90° = 0, więc c² = a² + b²)

---

7. Przykład z rozwiązaniem

Zadanie: Rozwiąż równanie: 2sin²x − 3sinx + 1 = 0 dla x ∈ [0°, 360°)

Podstawienie t = sin x:
2t² − 3t + 1 = 0
Δ = 9 − 8 = 1
t₁ = (3 − 1)/4 = ½, t₂ = (3 + 1)/4 = 1

sin x = ½ → x = 30° lub x = 150°
sin x = 1 → x = 90°

Odpowiedź: x ∈ {30°, 90°, 150°}

---

Częste błędy

• sin(α + β) ≠ sin α + sin β!
• tg 90° i ctg 0° NIE ISTNIEJĄ
• Pamiętaj o wszystkich rozwiązaniach w okręgu jednostkowym (dwie ćwiartki!)
• Zamiana stopni na radiany: mnożymy przez π/180, a nie przez 180/π