Stereometria

Stereometria

1. Położenia prostych i płaszczyzn w przestrzeni

Dwie proste mogą być:

• Równoległe (w tym pokrywające się)
• Przecinające się
• Skośne (nie mają punktu wspólnego i nie są równoległe)

Prosta a płaszczyzna:

• Prosta leży w płaszczyźnie
• Prosta jest równoległa do płaszczyzny
• Prosta przecina płaszczyznę (w jednym punkcie)
• Prosta jest prostopadła do płaszczyzny

---

2. Graniastosłupy

Graniastosłup prosty — krawędzie boczne prostopadłe do podstaw.

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Objętość | V = Pp · H (pole podstawy × wysokość) |
| Pole powierzchni bocznej | Pb = obwód podstawy · H |
| Pole powierzchni całkowitej | Pc = Pb + 2Pp |

Graniastosłup prawidłowy — podstawa jest wielokątem foremnym, a graniastosłup jest prosty.

Prostopadłościan (a × b × c):

• V = abc
• Przekątna: d = √(a² + b² + c²)
• Pc = 2(ab + bc + ac)

Sześcian (bok a):

• V = a³
• Przekątna: d = a√3
• Pc = 6a²

---

3. Ostrosłupy

Ostrosłup — podstawa to wielokąt, ściany boczne to trójkąty o wspólnym wierzchołku.

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Objętość | V = ⅓ · Pp · H |
| Pole powierzchni całkowitej | Pc = Pp + Pb (suma pól ścian bocznych + podstawy) |

Ostrosłup prawidłowy — podstawa to wielokąt foremny, rzut wierzchołka na podstawę = środek podstawy.

Czworościan foremny (bok a):

• V = a³√2/12
• H = a√(2/3)
• Pc = a²√3

---

4. Bryły obrotowe

Walec (promień r, wysokość H)

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Objętość | V = πr²H |
| Pole boczne | Pb = 2πrH |
| Pole całkowite | Pc = 2πr(r + H) |

Stożek (promień r, wysokość H, tworząca l)

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Objętość | V = ⅓πr²H |
| Tworząca | l = √(r² + H²) |
| Pole boczne | Pb = πrl |
| Pole całkowite | Pc = πr(r + l) |

Kula (promień R)

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Objętość | V = ⁴⁄₃πR³ |
| Pole powierzchni | P = 4πR² |

---

5. Przekroje brył płaszczyznami

Zasady rysowania przekrojów:

• Prosta wspólna dwóch płaszczyzn to prosta.
• Jeśli płaszczyzna przecina dwie równoległe płaszczyzny, to linie przecięcia są równoległe.
• Przekrój graniastosłupa to wielokąt.
• Przekrój kuli płaszczyzną to okrąg.

---

6. Przykład z rozwiązaniem

Zadanie: Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu podstawy r = 3 cm i wysokości H = 4 cm.

Krok 1: Tworząca: l = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Krok 2: V = ⅓ · π · 9 · 4 = 12π cm³ ≈ 37,7 cm³
Krok 3: Pb = π · 3 · 5 = 15π cm²
Krok 4: Pc = π · 3 · (3 + 5) = 24π cm² ≈ 75,4 cm²

---

Częste błędy

• Objętość ostrosłupa i stożka: mnożymy przez ⅓ (nie zapominaj!)
• Tworząca stożka ≠ wysokość (l = √(r² + H²))
• Przekątna prostopadłościanu: √(a² + b² + c²), nie √(a² + b²) + c
• V kuli = ⁴⁄₃πR³, a pole powierzchni kuli = 4πR² — nie mylić!