Równania i nierówności liniowe

Równania i nierówności liniowe

1. Równanie liniowe

Postać ogólna: ax + b = 0, gdzie a ≠ 0

Rozwiązanie: x = −b/a

Przypadki szczególne:

• a ≠ 0 → dokładnie jedno rozwiązanie: x = −b/a
• a = 0, b = 0 → tożsamość: nieskończenie wiele rozwiązań (x ∈ ℝ)
• a = 0, b ≠ 0 → sprzeczność: brak rozwiązań (x ∈ ∅)

---

2. Rozwiązywanie równań — krok po kroku

Przykład 1: 3(2x − 4) = 2(x + 1) − 6

Krok 1: Usuwamy nawiasy: 6x − 12 = 2x + 2 − 6
Krok 2: Upraszczamy prawą stronę: 6x − 12 = 2x − 4
Krok 3: Przenosimy x na lewą: 6x − 2x = −4 + 12
Krok 4: 4x = 8
Krok 5: x = 2

Sprawdzenie: 3(2·2 − 4) = 3·0 = 0; 2(2 + 1) − 6 = 6 − 6 = 0 ✓

---

3. Równania z wartością bezwzględną

|ax + b| = c (c ≥ 0):
→ ax + b = c lub ax + b = −c

Przykład: |2x − 3| = 5

2x − 3 = 5 → 2x = 8 → x = 4
2x − 3 = −5 → 2x = −2 → x = −1

Odpowiedź: x = 4 lub x = −1

---

4. Nierówności liniowe

Zasady:

• Można dodawać/odejmować tę samą liczbę po obu stronach
• Można mnożyć/dzielić przez liczbę dodatnią — nierówność nie zmienia się
• Mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną → odwracamy znak nierówności!

Przykład: −3x + 6 > 0
−3x > −6
x < 2 (dzielimy przez −3, więc odwracamy nierówność!)

Odpowiedź: x ∈ (−∞, 2)

---

5. Nierówności z wartością bezwzględną

• |x| < a ⟺ −a < x < a (a > 0)
• |x| > a ⟺ x < −a lub x > a (a > 0)

Przykład: |x − 3| ≤ 4

−4 ≤ x − 3 ≤ 4
−4 + 3 ≤ x ≤ 4 + 3
−1 ≤ x ≤ 7

Odpowiedź: x ∈ [−1, 7]

---

6. Równania z parametrem

Przykład: Dla jakich wartości parametru m równanie mx + 3 = m ma dokładnie jedno rozwiązanie?

mx = m − 3
x = (m − 3)/m — rozwiązanie istnieje, gdy m ≠ 0

Odpowiedź: Dla m ∈ ℝ \ {0}.

---

Częste błędy

• Przy dzieleniu przez liczbę ujemną — zapomnienie o odwróceniu znaku nierówności
• |x| = −3 nie ma rozwiązań! Wartość bezwzględna jest zawsze ≥ 0
• Równanie 0·x = 5 jest sprzeczne (brak rozwiązań), a nie x = 5/0