Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Permutacje, wariacje, kombinacje, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo warunkowe, drzewa.
Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka
1. Reguła mnożenia i dodawania
Reguła mnożenia: Jeśli czynność A można wykonać na m sposobów, a czynność B na n sposobów, to obie czynności łącznie: m · n sposobów.
Reguła dodawania: Jeśli czynność można wykonać na m sposobów ALBO na n sposobów (wykluczające się), to łącznie: m + n sposobów.
---
2. Silnia i symbol Newtona
Silnia: n! = 1 · 2 · 3 · … · n
- 0! = 1 (umowa)
- 5! = 120
- 10! = 3 628 800
Symbol Newtona (kombinacja):
C(n, k) = n! / [k! · (n − k)!]
Oznaczenie: (n po k) lub C(n,k) lub ₙCₖ
Własności: C(n, 0) = 1, C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n−k)
---
3. Kombinatoryka — trzy główne pojęcia
| Pojęcie | Wzór | Kolejność? | Powtórzenia? | Przykład |
|---------|------|------------|--------------|---------|
| Permutacja | n! | Tak | Nie | Ile ustawień 5 osób w rzędzie? 5! = 120 |
| Wariacja bez powt. | n!/(n−k)! | Tak | Nie | Na ile sposobów wybrać prezesa i wice z 10 osób? 10·9 = 90 |
| Kombinacja | C(n,k) | Nie | Nie | Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 10? C(10,3) = 120 |
Permutacja z powtórzeniami: n! / (n₁! · n₂! · … · nₖ!)
Przykład: Ile anagramów słowa MAMA? 4! / (2!·2!) = 6
Wariacja z powtórzeniami: nᵏ
Przykład: Ile 4-cyfrowych kodów PIN? 10⁴ = 10 000
---
4. Prawdopodobieństwo klasyczne
Definicja (Laplace'a):
P(A) = |A| / |Ω| = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich zdarzeń
Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, Ω skończone.
Własności:
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ω) = 1, P(∅) = 0
- P(A') = 1 − P(A) (zdarzenie przeciwne)
---
5. Działania na zdarzeniach
| Działanie | Zapis | Prawdopodobieństwo |
|-----------|-------|-------------------|
| Suma (A lub B) | A ∪ B | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| Iloczyn (A i B) | A ∩ B | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (gdy niezależne) |
| Dopełnienie | A' | P(A') = 1 − P(A) |
---
6. Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (prawdopodobieństwo A pod warunkiem B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ⟺ P(A|B) = P(A)
---
7. Dwumian Newtona
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (k od 0 do n)
Trójkąt Pascala:
``
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
---
8. Przykład z rozwiązaniem
Zadanie: Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy asa lub kartę kierową?
A = {as}, |A| = 4
B = {kier}, |B| = 13
A ∩ B = {as kier}, |A ∩ B| = 1
P(A ∪ B) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13
---
Częste błędy
- Mylenie wariacji (kolejność ważna) z kombinacjami (kolejność nieważna)
- Zapominanie o odjęciu P(A ∩ B) we wzorze na sumę zdarzeń
- 0! = 1, nie 0!
- Prawdopodobieństwo jest ZAWSZE z przedziału [0, 1]