Pochodna funkcji i zastosowania
Definicja pochodnej, reguły różniczkowania, ekstrema funkcji, badanie przebiegu zmienności — poziom rozszerzony.
Pochodna funkcji i zastosowania (poziom rozszerzony)
1. Definicja pochodnej
Pochodna funkcji f w punkcie x₀:
f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
Interpretacja geometryczna: f'(x₀) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu f w punkcie (x₀, f(x₀)).
Interpretacja fizyczna: Jeśli s(t) to droga, to s'(t) = v(t) — prędkość chwilowa.
---
2. Pochodne funkcji elementarnych
| f(x) | f'(x) |
|------|--------|
| c (stała) | 0 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| √x = x^(1/2) | 1/(2√x) |
| 1/x = x⁻¹ | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| log_a(x) | 1/(x · ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
---
3. Reguły różniczkowania
| Reguła | Wzór |
|--------|------|
| Stała · funkcja | (c · f)' = c · f' |
| Suma | (f + g)' = f' + g' |
| Iloczyn | (f · g)' = f'g + fg' |
| Iloraz | (f/g)' = (f'g − fg') / g² |
| Złożenie (łańcuchowa) | [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) |
---
4. Przykłady obliczania pochodnych
Przykład 1: f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7
f'(x) = 12x³ − 4x + 5
Przykład 2: f(x) = x² · sin x (reguła iloczynu)
f'(x) = 2x · sin x + x² · cos x
Przykład 3: f(x) = (2x + 1)⁵ (reguła łańcuchowa)
f'(x) = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴
Przykład 4: f(x) = ln(x² + 1)
f'(x) = 2x/(x² + 1)
---
5. Ekstrema funkcji
Warunek konieczny ekstremum: f'(x₀) = 0 lub f' nie istnieje w x₀
Warunek wystarczający (zmiana znaku pochodnej):
- f' zmienia znak z + na − → maksimum lokalne w x₀
- f' zmienia znak z − na + → minimum lokalne w x₀
- f' nie zmienia znaku → brak ekstremum
Warunek wystarczający (druga pochodna):
- f'(x₀) = 0 i f''(x₀) < 0 → maksimum
- f'(x₀) = 0 i f''(x₀) > 0 → minimum
---
6. Monotoniczność i wklęsłość
- f'(x) > 0 na przedziale → f rosnąca
- f'(x) < 0 na przedziale → f malejąca
- f''(x) > 0 → f wypukła (wklęsła ku górze)
- f''(x) < 0 → f wklęsła (wklęsła ku dołowi)
- f''(x₀) = 0 i zmiana znaku f'' → punkt przegięcia
---
7. Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat
- Dziedzina
- Miejsca zerowe
- Znaki funkcji
- Granice na krańcach dziedziny i asymptoty
- Pochodna f' → monotoniczność i ekstrema
- Druga pochodna f'' → wklęsłość/wypukłość i punkty przegięcia
- Wykres
---
8. Przykład z rozwiązaniem — pełne badanie
Zadanie: Zbadaj przebieg zmienności f(x) = x³ − 3x + 2.
Krok 1: Dziedzina: ℝ
Krok 2: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = −1 lub x = 1
Krok 3: Tabela znaków:
- x < −1: f'(x) > 0 → f rosnąca
- −1 < x < 1: f'(x) < 0 → f malejąca
- x > 1: f'(x) > 0 → f rosnąca
Krok 4: Ekstrema:
- x = −1: max lokalne, f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4
- x = 1: min lokalne, f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
Krok 5: f''(x) = 6x
f''(x) = 0 → x = 0 → punkt przegięcia w (0, 2)
x < 0: f''(x) < 0 → wklęsła; x > 0: f''(x) > 0 → wypukła
Krok 6: Zbiór wartości: ℝ (wielomian stopnia nieparzystego)
---
Częste błędy
- f'(x₀) = 0 NIE GWARANTUJE ekstremum (np. f(x) = x³ w x = 0)
- Reguła łańcuchowa: nie zapominaj o pochodnej funkcji wewnętrznej!
- (f · g)' ≠ f' · g' — pamiętaj o regule iloczynu!
- Pochodna sin x = cos x, ale pochodna cos x = −sin x (znak minus!)