Planimetria — trójkąty i czworokąty
Własności trójkątów, twierdzenie Pitagorasa, pola i obwody czworokątów, twierdzenie Talesa.
Planimetria — trójkąty i czworokąty
1. Trójkąt — podstawy
Suma kątów wewnętrznych trójkąta = 180°
Nierówność trójkąta: W każdym trójkącie suma dwóch dowolnych boków jest większa od trzeciego boku: a + b > c, a + c > b, b + c > a
Klasyfikacja wg boków:
- Równoboczny: a = b = c (wszystkie kąty = 60°)
- Równoramienny: dwa boki równe
- Różnoboczny: wszystkie boki różne
Klasyfikacja wg kątów:
- Ostrokątny: wszystkie kąty < 90°
- Prostokątny: jeden kąt = 90°
- Rozwartokątny: jeden kąt > 90°
---
2. Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c:
a² + b² = c²
Odwrotne twierdzenie: Jeśli a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny.
Trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)
---
3. Pola trójkątów — wzory
| Wzór | Opis |
|------|------|
| P = ½ · a · h | Podstawa × wysokość |
| P = ½ · a · b · sin C | Dwa boki i kąt między nimi |
| P = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] | Wzór Herona (s = (a+b+c)/2) |
| P = a²√3/4 | Trójkąt równoboczny |
| P = r · s | r — promień okręgu wpisanego |
| P = abc/(4R) | R — promień okręgu opisanego |
---
4. Twierdzenie Talesa
Jeśli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu:
a/a' = b/b' = c/c'
---
5. Podobieństwo trójkątów
Trójkąty są podobne (△ABC ~ △A'B'C'), gdy:
- BBB (bók-bók-bók): odpowiednie boki proporcjonalne
- BKB (bok-kąt-bok): dwa boki proporcjonalne i kąt między nimi równy
- KK (kąt-kąt): dwa kąty równe
Skala podobieństwa k: stosunek odpowiednich boków.
Stosunek pól: k², stosunek obwodów: k
---
6. Czworokąty — wzory na pola
| Figura | Wzór na pole |
|--------|-------------|
| Kwadrat (bok a) | P = a² |
| Prostokąt (a × b) | P = a · b |
| Równoległobok | P = a · h = a · b · sin α |
| Romb (przekątne d₁, d₂) | P = d₁ · d₂ / 2 |
| Trapez (podstawy a, b; wysokość h) | P = (a + b) · h / 2 |
| Deltoid (przekątne d₁, d₂) | P = d₁ · d₂ / 2 |
---
7. Przykład z rozwiązaniem
Zadanie: W trójkącie o bokach 6, 8, 10 oblicz pole i promień okręgu wpisanego.
Krok 1: Sprawdzamy, czy prostokątny: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓
Krok 2: P = ½ · 6 · 8 = 24
Krok 3: s = (6 + 8 + 10)/2 = 12
Krok 4: P = r · s → 24 = r · 12 → r = 2
---
Częste błędy
- W twierdzeniu Pitagorasa: c to ZAWSZE najdłuższy bok (przeciwprostokątna)
- Pole rombu przez przekątne: P = d₁d₂/2, NIE d₁d₂
- Podobieństwo ≠ przystawanie (podobne = taki sam kształt, przystawane = taki sam kształt i wymiar)