Planimetria — okrąg i koło

Planimetria — okrąg i koło

1. Podstawowe definicje

• Okrąg — zbiór punktów w odległości r od środka S: {P : |PS| = r}
• Koło — zbiór punktów w odległości ≤ r od środka: {P : |PS| ≤ r}
• Promień r — odcinek od środka do punktu na okręgu
• Średnica d = 2r — najdłuższa cięciwa
• Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu

Obwód okręgu: L = 2πr
Pole koła: P = πr²

---

2. Równanie okręgu

Okrąg o środku S(a, b) i promieniu r:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Przykład: Okrąg o środku S(2, −3) i r = 5:
(x − 2)² + (y + 3)² = 25

---

3. Styczna do okręgu

Styczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny (punkt styczności T).

Własność: Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności: ST ⊥ l

Odległość środka od stycznej = r

Dwie styczne z punktu zewnętrznego:
Z punktu P leżącego poza okręgiem można poprowadzić dokładnie dwie styczne. Odcinki stycznych z tego punktu są równe: |PT₁| = |PT₂|.

---

4. Kąt środkowy i kąt wpisany

Kąt środkowy — wierzchołek w środku okręgu.
Miara kąta środkowego = miara łuku.

Kąt wpisany — wierzchołek na okręgu.
Miara kąta wpisanego = ½ miary łuku, na którym jest oparty.

Wniosek: Kąt wpisany = ½ kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Kąt wpisany oparty na średnicy = 90° (twierdzenie Talesa o okręgu)

---

5. Cięciwa a promień

Jeśli promień jest prostopadły do cięciwy, to dzieli ją na dwie równe części (i odwrotnie).

Odległość środka od cięciwy:
Jeśli cięciwa ma długość c, a promień okręgu wynosi r, to odległość d od środka:
d = √(r² − (c/2)²)

---

6. Okrąg wpisany i opisany

Okrąg wpisany w trójkąt:

• Środek: punkt przecięcia dwusiecznych kątów
• Promień: r = P/s (P — pole, s — półobwód)

Okrąg opisany na trójkącie:

• Środek: punkt przecięcia symetralnych boków
• Promień: R = abc/(4P)

Warunek wpisania okręgu w czworokąt:
a + c = b + d (suma przeciwnych boków równa)

Warunek opisania okręgu na czworokącie:
α + γ = 180° (suma przeciwnych kątów = 180°)

---

7. Wzory na wycinek i odcinek kołowy

Pole wycinka kołowego (kąt α w stopniach):
P = πr² · α/360°

Długość łuku:
l = 2πr · α/360°

Pole wycinka (kąt α w radianach):
P = ½r²α, l = rα

---

Częste błędy

• Kąt wpisany ≠ kąt środkowy (kąt wpisany = ½ kąta środkowego)
• W równaniu okręgu: (x − a)² — gdy środek ma współrzędną a, NIE (x + a)²
• Pole KOŁA to πr², obwód OKRĘGU to 2πr — nie mylić koła z okręgiem