Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

1. Definicja

Funkcja liniowa to funkcja postaci: f(x) = ax + b

• a — współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej)
• b — wyraz wolny (punkt przecięcia z osią OY)

Dziedziną jest ℝ, zbiorem wartości jest ℝ (gdy a ≠ 0) lub {b} (gdy a = 0).

---

2. Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax + b jest prosta.

Do narysowania prostej wystarczą dwa punkty, np.:

• Miejsce zerowe: y = 0 → x = −b/a (punkt (−b/a, 0))
• Punkt przecięcia z osią OY: x = 0 → y = b (punkt (0, b))

---

3. Współczynnik kierunkowy

Współczynnik a mówi o nachyleniu prostej:

| Wartość a | Zachowanie funkcji |
|-----------|-------------------|
| a > 0 | Funkcja rosnąca ↗ |
| a < 0 | Funkcja malejąca ↘ |
| a = 0 | Funkcja stała → |

Obliczanie a z dwóch punktów A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂):

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Interpretacja: tg α = a, gdzie α — kąt nachylenia prostej do osi OX.

---

4. Wzajemne położenie dwóch prostych

Dane dwie proste: y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂

| Warunek | Położenie |
|---------|-----------|
| a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂ | Proste równoległe |
| a₁ = a₂, b₁ = b₂ | Proste pokrywające się |
| a₁ ≠ a₂ | Proste przecinające się |
| a₁ · a₂ = −1 | Proste prostopadłe |

---

5. Postać ogólna równania prostej

Ax + By + C = 0 (A i B nie mogą być jednocześnie zerem)

Przejście na postać kierunkową (B ≠ 0):
y = −(A/B)x − C/B, więc a = −A/B, b = −C/B

---

6. Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Przykład: Odległość punktu P(3, 1) od prostej 4x − 3y + 2 = 0:
d = |4·3 − 3·1 + 2| / √(16 + 9) = |12 − 3 + 2| / 5 = 11/5 = 2,2

---

7. Przykład z rozwiązaniem

Zadanie: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 3) i B(4, −3).

Krok 1: a = (−3 − 3) / (4 − 1) = −6/3 = −2
Krok 2: y = −2x + b. Podstawiamy A(1, 3): 3 = −2 + b → b = 5
Krok 3: y = −2x + 5

Sprawdzenie z B(4, −3): −2·4 + 5 = −8 + 5 = −3 ✓

---

Częste błędy

• Mylenie współczynnika kierunkowego (nachylenie) z wyrazem wolnym (punkt na OY)
• Zapomnienie, że prostopadłość wymaga a₁ · a₂ = −1, a nie a₁ = −a₂
• Dzielenie przez zero, gdy prosta jest pionowa (x = const, to NIE jest funkcja)