Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

1. Trzy postaci funkcji kwadratowej

| Postać | Wzór | Co odczytamy |
|--------|------|--------------|
| Ogólna | f(x) = ax² + bx + c | a — kierunek ramion, c — przecięcie z OY |
| Kanoniczna | f(x) = a(x − p)² + q | Wierzchołek W(p, q) |
| Iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | Miejsca zerowe x₁, x₂ |

---

2. Wyróżnik (delta)

Δ = b² − 4ac

| Wartość Δ | Liczba miejsc zerowych | Wzory na pierwiastki |
|-----------|----------------------|---------------------|
| Δ > 0 | Dwa różne: x₁ ≠ x₂ | x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | Jedno (podwójne): x₀ | x₀ = −b / (2a) |
| Δ < 0 | Brak | Nie istnieją w ℝ |

---

3. Wierzchołek paraboli

W = (p, q), gdzie:

• p = −b / (2a)
• q = −Δ / (4a)

Wierzchołek jest:

• minimum funkcji, gdy a > 0
• maximum funkcji, gdy a < 0

---

4. Właściwości wykresu (paraboli)

• Oś symetrii: x = p = −b/(2a)
• Ramiona skierowane w górę: a > 0
• Ramiona skierowane w dół: a < 0
• Punkt przecięcia z osią OY: (0, c)

---

5. Przykład z pełnym rozwiązaniem

Zadanie: Zbadaj funkcję f(x) = 2x² − 8x + 6.

Krok 1 — Wyróżnik:
Δ = (−8)² − 4·2·6 = 64 − 48 = 16

Krok 2 — Miejsca zerowe:
x₁ = (8 − 4) / 4 = 1
x₂ = (8 + 4) / 4 = 3

Krok 3 — Wierzchołek:
p = 8/4 = 2
q = −16/8 = −2
W = (2, −2)

Krok 4 — Postać kanoniczna:
f(x) = 2(x − 2)² − 2

Krok 5 — Postać iloczynowa:
f(x) = 2(x − 1)(x − 3)

Krok 6 — Analiza znaku:

• f(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
• f(x) < 0 dla x ∈ (1, 3)
• f(x) = 0 dla x = 1 lub x = 3

Krok 7 — Zbiór wartości:
a = 2 > 0 → parabola skierowana w górę → minimum w wierzchołku
Zbiór wartości: [−2, +∞)

---

6. Wzory Viète'a

Jeśli x₁, x₂ są pierwiastkami ax² + bx + c = 0, to:

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Zastosowanie: Ułóż równanie kwadratowe o pierwiastkach 3 i −5.
x₁ + x₂ = 3 + (−5) = −2 → −b/a = −2
x₁ · x₂ = 3 · (−5) = −15 → c/a = −15
Równanie: x² + 2x − 15 = 0

---

Częste błędy

• Mylenie znaku a (kierunek ramion) ze znakiem Δ (liczba pierwiastków)
• Zapomnienie, że postać iloczynowa istnieje TYLKO, gdy Δ ≥ 0
• W formule q = −Δ/(4a), nie q = Δ/(4a)!
• Zbiór wartości zależy od znaku a: jeśli a > 0 to [q, +∞), jeśli a < 0 to (−∞, q]