Ciągi arytmetyczne i geometryczne
Definicje, wzory na n-ty wyraz i sumę, własności ciągów, granica ciągu geometrycznego.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne
1. Pojęcie ciągu liczbowego
Ciąg to funkcja określona na zbiorze ℕ⁺ (lub ℕ) o wartościach w ℝ.
Ciąg można określić:
- Wzorem ogólnym: aₙ = f(n), np. aₙ = 2n + 1
- Wzorem rekurencyjnym: aₙ₊₁ = g(aₙ), np. a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ + 4
---
2. Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg, w którym różnica kolejnych wyrazów jest stała:
aₙ₊₁ − aₙ = r = const (r — różnica ciągu)
Wzór na n-ty wyraz:
aₙ = a₁ + (n − 1) · r
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów:
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 = n · (2a₁ + (n−1)r) / 2
Własność środków arytmetycznych:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów
Przykład:
Ciąg: 5, 8, 11, 14, 17, …
a₁ = 5, r = 3
a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62
S₂₀ = 20 · (5 + 62) / 2 = 20 · 67/2 = 670
---
3. Ciąg geometryczny
Definicja: Ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
aₙ₊₁ / aₙ = q = const (q — iloraz ciągu), aₙ ≠ 0
Wzór na n-ty wyraz:
aₙ = a₁ · q^(n−1)
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów (q ≠ 1):
Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)
Własność środków geometrycznych:
aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁ — kwadrat wyrazu = iloczyn sąsiadów
Przykład:
Ciąg: 3, 6, 12, 24, 48, …
a₁ = 3, q = 2
a₁₀ = 3 · 2⁹ = 3 · 512 = 1536
S₁₀ = 3 · (1 − 2¹⁰) / (1 − 2) = 3 · (1 − 1024) / (−1) = 3069
---
4. Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Gdy |q| < 1, suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest skończona:
S∞ = a₁ / (1 − q)
Przykład: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …
a₁ = 1, q = ½
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / (½) = 2
---
5. Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
0,333… = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … = (3/10) / (1 − 1/10) = (3/10) / (9/10) = 3/9 = 1/3
0,171717… = 17/100 · 1/(1 − 1/100) = 17/99
---
6. Zadanie z rozwiązaniem
Zadanie: W ciągu arytmetycznym a₃ = 10 i a₇ = 22. Znajdź a₁, r i S₁₅.
a₃ = a₁ + 2r = 10
a₇ = a₁ + 6r = 22
Odejmujemy: 4r = 12 → r = 3
a₁ = 10 − 6 = 4
S₁₅ = 15 · (2·4 + 14·3) / 2 = 15 · (8 + 42) / 2 = 15 · 25 = 375
---
Częste błędy
- aₙ = a₁ + (n − 1)r, NIE aₙ = a₁ + nr
- Suma nieskończona istnieje TYLKO, gdy |q| < 1
- W ciągu geometrycznym q ≠ 0 i wyrazy ≠ 0
- S∞ = a₁/(1 − q), NIE a₁/q