Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne

1. Definicja

Wyrażenie algebraiczne to zapis zawierający liczby, zmienne (litery) i znaki działań, np. 3x² − 5x + 2.

---

2. Wzory skróconego mnożenia

To jedne z najważniejszych wzorów w całej matematyce licealne. Musisz je znać na pamięć!

| Wzór | Rozwinięcie |
|------|-------------|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | a² − b² |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |

---

3. Rozkładanie na czynniki — metody

Metoda 1: Wyłączanie wspólnego czynnika
6x³ − 9x² + 3x = 3x(2x² − 3x + 1)

Metoda 2: Grupowanie
x³ + x² − x − 1 = x²(x + 1) − 1(x + 1) = (x + 1)(x² − 1) = (x + 1)(x − 1)(x + 1) = (x + 1)²(x − 1)

Metoda 3: Wzory skróconego mnożenia
4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3)

Metoda 4: Trójmian kwadratowy
x² − 5x + 6 — szukamy dwóch liczb, których iloczyn = 6, a suma = −5: to −2 i −3
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

---

4. Działania na ułamkach algebraicznych

Skracanie:
(x² − 4) / (x + 2) = (x − 2)(x + 2) / (x + 2) = x − 2 (dla x ≠ −2)

Dodawanie:
1/(x − 1) + 1/(x + 1) = (x + 1 + x − 1) / [(x − 1)(x + 1)] = 2x / (x² − 1)

---

5. Przykład z rozwiązaniem

Zadanie: Uprość wyrażenie (a² − b²) / (a + b) + (a − b)².

Rozwiązanie:
Krok 1: (a² − b²) / (a + b) = (a − b)(a + b) / (a + b) = a − b

Krok 2: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Krok 3: a − b + a² − 2ab + b² = a² − 2ab + b² + a − b

Można też zapisać: (a − b)² + (a − b) = (a − b)(a − b + 1)

---

Częste błędy

• (a + b)² ≠ a² + b² — brakuje środkowego wyrazu 2ab!
• Nie wolno skracać „na ukos": (a + b)/a ≠ b (nie można skrócić a z sumy)
• Pamiętaj o wyłączeniu wartości z dziedziny, dla których mianownik = 0