Hydrostatyka i hydrodynamika

Hydrostatyka i hydrodynamika

---

Ciśnienie (p)

Ciśnienie to siła nacisku przypadająca na jednostkę powierzchni:

$$p = \frac{F}{S}$$

Jednostka: 1 Pa (paskal) = 1 N/m²

Inne jednostki ciśnienia:
| Jednostka | Wartość w Pa |
|-----------|-------------|
| 1 hPa (hektopaskal) | 100 Pa |
| 1 atm (atmosfera) | 101 325 Pa |
| 1 bar | 100 000 Pa |
| 1 mmHg | 133,3 Pa |

Ciśnienie atmosferyczne normalne: p₀ = 1013,25 hPa = 1 atm

---

Ciśnienie hydrostatyczne

Ciśnienie wywierane przez słup cieczy o wysokości h:

$$p_h = \rho \cdot g \cdot h$$

Gdzie:

• ρ — gęstość cieczy [kg/m³]
• g — przyspieszenie ziemskie [m/s²]
• h — głębokość (wysokość słupa cieczy) [m]

Ciśnienie całkowite na głębokości h:
$$p = p_0 + \rho g h$$

Gęstości wybranych substancji:

| Substancja | ρ [kg/m³] |
|-----------|----------|
| Powietrze (0°C) | 1,29 |
| Woda (4°C) | 1000 |
| Woda morska | 1025 |
| Rtęć | 13 600 |
| Olej | 800-900 |
| Lód | 917 |

Przykład 1:
Jakie jest ciśnienie na dnie basenu o głębokości 3 m?

Rozwiązanie:

• p = p₀ + ρgh = 101325 + 1000 · 10 · 3 = 101325 + 30000 = 131 325 Pa ≈ 1313 hPa

---

Prawo Pascala

> Ciśnienie wywierane na ciecz (lub gaz) w naczyniu zamkniętym jest przenoszone jednakowo we wszystkich kierunkach.

Zastosowanie — prasa hydrauliczna:
$$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$$

$$F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$$

Przykład 2:
Prasa hydrauliczna ma tłoki o powierzchniach S₁ = 10 cm² i S₂ = 500 cm². Jaką siłą F₁ trzeba nacisnąć mały tłok, aby podnieść samochód o masie 1500 kg?

Rozwiązanie:

• F₂ = mg = 1500 · 10 = 15 000 N
• F₁ = F₂ · S₁/S₂ = 15000 · 10/500 = 300 N

Zysk siły: S₂/S₁ = 500/10 = 50 razy! Ale mały tłok musi przebyć 50 razy większą drogę.

---

Prawo Archimedesa

> Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana ku górze, równa ciężarowi wypartego płynu.

$$F_w = \rho_{płynu} \cdot g \cdot V_{zanurzonej}$$

Warunki pływania:

• ρ_ciała < ρ_płynu → ciało pływa (F_w > F_g)
• ρ_ciała = ρ_płynu → ciało unosi się (F_w = F_g)
• ρ_ciała > ρ_płynu → ciało tonie (F_w < F_g)

Przykład 3:
Klocek drewniany o masie 0,6 kg i objętości 1000 cm³ wrzucono do wody. Jaka część klocka wystaje nad wodę?

Rozwiązanie:

• ρ_klocka = m/V = 0,6/0,001 = 600 kg/m³
• ρ_wody = 1000 kg/m³
• Klocek pływa, bo ρ_klocka < ρ_wody
• Część zanurzona: V_zan/V = ρ_klocka/ρ_wody = 600/1000 = 0,6 = 60%
• 40% klocka wystaje nad wodę

---

Równanie ciągłości (dla cieczy nieściśliwej)

$$S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$$

Natężenie przepływu Q = S·v = const

Gdy przekrój maleje → prędkość rośnie.

---

Równanie Bernoulliego

Dla idealnego płynu (nieściśliwego, bez tarcia wewnętrznego):

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = const$$

Gdzie:

• p — ciśnienie statyczne
• ½ρv² — ciśnienie dynamiczne
• ρgh — ciśnienie hydrostatyczne

Zastosowania:

• Siła nośna skrzydła samolotu (różnica ciśnień nad i pod skrzydłem)
• Atomizer, rozpylacz
• Efekt Venturiego (zwężka)