Grawitacja — prawo powszechnego ciążenia
Prawo grawitacji Newtona, prawa Keplera, orbity, prędkości kosmiczne, satelity
Grawitacja — prawo powszechnego ciążenia
---
Prawo powszechnego ciążenia Newtona
> Każde dwa ciała o masach m₁ i m₂ przyciągają się siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.
$$F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$
Gdzie:
- G = 6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² — stała grawitacyjna
- r — odległość między środkami mas [m]
Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety:
$$g = \frac{GM}{R^2}$$
Gdzie M — masa planety, R — promień planety.
Dla Ziemi:
- M_Z = 5,97 · 10²⁴ kg
- R_Z = 6371 km = 6,371 · 10⁶ m
- g = 9,81 m/s²
Przykład 1:
Oblicz siłę grawitacji między dwoma osobami (m₁ = 70 kg, m₂ = 80 kg) stojącymi w odległości 1 m od siebie.
Rozwiązanie:
- F = G·m₁·m₂/r² = 6,674·10⁻¹¹ · 70 · 80 / 1²
- F = 6,674·10⁻¹¹ · 5600 = 3,74 · 10⁻⁷ N (niezauważalne!)
---
Prawa Keplera
I prawo Keplera (prawo orbit):
Każda planeta krąży wokół Słońca po elipsie, w której jednym z ognisk jest Słońce.
II prawo Keplera (prawo pól):
Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
- Planeta blisko Słońca (peryhelium) → porusza się szybciej
- Planeta daleko od Słońca (aphelium) → porusza się wolniej
III prawo Keplera (prawo okresów):
$$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} = const$$
Gdzie:
- T — okres obiegu
- a — półoś wielka orbity
Dla orbit kołowych:
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$$
Przykład 2:
Okres obiegu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok, a odległość od Słońca to 1 AU. Mars jest w odległości 1,52 AU. Oblicz okres obiegu Marsa.
Rozwiązanie:
- T_M²/1,52³ = T_Z²/1³
- T_M² = 1² · 1,52³ = 3,51
- T_M = √3,51 ≈ 1,87 roku (faktycznie 1,88 roku)
---
Prędkości kosmiczne
I prędkość kosmiczna (orbitalna):
Minimalna prędkość, aby ciało krążyło wokół planety po orbicie kołowej:
$$v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$$
Dla Ziemi: v_I ≈ 7,9 km/s ≈ 28 400 km/h
II prędkość kosmiczna (ucieczki):
Minimalna prędkość, aby ciało opuściło pole grawitacyjne planety:
$$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_I \sqrt{2}$$
Dla Ziemi: v_II ≈ 11,2 km/s
III prędkość kosmiczna:
Prędkość potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego: v_III ≈ 16,7 km/s
---
Energia w polu grawitacyjnym
Energia potencjalna grawitacyjna:
$$E_p = -G\frac{m_1 m_2}{r}$$
Znak minus oznacza, że energia jest ujemna (ciała są związane grawitacyjnie). Na nieskończoności Ep = 0.
Energia całkowita satelity na orbicie kołowej:
$$E = -\frac{GMm}{2r}$$
---
Przyspieszenie grawitacyjne na różnych ciałach niebieskich
| Ciało niebieskie | g [m/s²] | Stosunek do g_Ziemi |
|-----------------|----------|-------------------|
| Słońce | 274 | 27,9 |
| Ziemia | 9,81 | 1,00 |
| Księżyc | 1,63 | 0,17 |
| Mars | 3,72 | 0,38 |
| Jowisz | 24,79 | 2,53 |
---
Satelity geostacjonarne
Satelita geostacjonarny krąży nad równikiem z okresem T = 24 h (= 86400 s):
$$r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$$
Wysokość orbity geostacjonarnej: h ≈ 35 786 km nad powierzchnią Ziemi.