Ruch obrotowy i bryły sztywnej
Moment siły, moment bezwładności, prędkość kątowa, moment pędu, obroty brył sztywnych
Ruch obrotowy i bryły sztywnej
---
Wielkości opisujące ruch obrotowy
Kąt obrotu (φ) — mierzony w radianach [rad]:
- 1 obrót = 2π rad = 360°
- 1 rad ≈ 57,3°
Prędkość kątowa (ω):
$$\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \quad [rad/s]$$
Związek z okresem T i częstotliwością f:
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$
Gdzie:
- T — okres (czas jednego obrotu) [s]
- f — częstotliwość (liczba obrotów na sekundę) [Hz = 1/s]
Prędkość liniowa a kątowa:
$$v = \omega \cdot r$$
Przyspieszenie kątowe (ε):
$$\epsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \quad [rad/s^2]$$
---
Przyspieszenie dośrodkowe
Ciało w ruchu po okręgu ma przyspieszenie skierowane do środka okręgu:
$$a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$$
---
Moment siły (M)
Moment siły to wielkość opisująca zdolność siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy:
$$M = F \cdot r \cdot \sin\alpha$$
Gdzie:
- F — wartość siły [N]
- r — odległość od osi obrotu do punktu przyłożenia siły [m]
- α — kąt między wektorem siły a ramieniem
Gdy siła jest prostopadła do ramienia (α = 90°):
$$M = F \cdot r$$
Jednostka: N·m (niutonometr)
Ramię siły (d) — najkrótsza odległość od osi obrotu do kierunku siły:
$$M = F \cdot d$$
---
Warunek równowagi ciała sztywnego
Ciało jest w równowadze, gdy:
- Suma sił = 0 (równowaga sił): ΣF = 0
- Suma momentów sił = 0 (równowaga momentów): ΣM = 0
Przykład 1 — dźwignia:
Na dźwigni po jednej stronie osi obrotu wisi ciężarek m₁ = 3 kg w odległości r₁ = 0,4 m. W jakiej odległości r₂ należy zawiesić ciężarek m₂ = 6 kg, aby dźwignia była w równowadze?
Rozwiązanie:
- M₁ = M₂
- m₁ · g · r₁ = m₂ · g · r₂
- r₂ = m₁·r₁/m₂ = 3·0,4/6 = 0,2 m = 20 cm
---
Moment bezwładności (I)
Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym — opisuje opór ciała wobec zmiany ruchu obrotowego:
$$I = \sum m_i r_i^2$$
Momenty bezwładności wybranych brył:
| Bryła | Oś | Moment bezwładności |
|-------|-----|-------------------|
| Punkt materialny | odl. r od osi | I = mr² |
| Pręt (środek) | przez środek, ⊥ | I = (1/12)mL² |
| Pręt (koniec) | przez koniec, ⊥ | I = (1/3)mL² |
| Walec pełny | oś symetrii | I = (1/2)mR² |
| Kula pełna | przez środek | I = (2/5)mR² |
| Obręcz | oś symetrii | I = mR² |
---
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
$$M = I \cdot \epsilon$$
Analogia do F = m·a:
- Siła F → Moment siły M
- Masa m → Moment bezwładności I
- Przyspieszenie a → Przyspieszenie kątowe ε
---
Moment pędu (L)
$$L = I \cdot \omega$$
Zasada zachowania momentu pędu:
W układzie izolowanym (brak momentu sił zewnętrznych):
$$L = I \cdot \omega = const$$
Jeśli I maleje → ω rośnie (i odwrotnie).
Przykład: łyżwiarka wykonująca piruet — przyciąga ręce do ciała (zmniejsza I), więc obraca się szybciej.
---
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
$$E_{k,obr} = \frac{1}{2} I \omega^2$$
Dla ciała toczącego się (ruch postępowy + obrotowy):
$$E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$
Przykład 2:
Walec pełny o masie 4 kg i promieniu 0,1 m toczy się z prędkością 5 m/s. Oblicz jego całkowitą energię kinetyczną.
Rozwiązanie:
- I = ½mR² = ½ · 4 · 0,01 = 0,02 kg·m²
- ω = v/R = 5/0,1 = 50 rad/s
- Ek,post = ½mv² = ½ · 4 · 25 = 50 J
- Ek,obr = ½Iω² = ½ · 0,02 · 2500 = 25 J
- Ek,cał = 50 + 25 = 75 J