Zasady zachowania — pęd i energia
Pęd, popęd siły, zasada zachowania pędu, zderzenia sprężyste i niesprężyste
Zasady zachowania — pęd i energia
---
Pęd (p)
Pęd to wielkość wektorowa opisująca „ilość ruchu" ciała:
$$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$$
Jednostka: kg·m/s
Uwaga: Pęd ma kierunek i zwrot prędkości.
---
Popęd siły (impuls)
Popęd siły to iloczyn siły i czasu jej działania:
$$\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$$
Popęd siły jest równy zmianie pędu ciała. To jest alternatywna postać II zasady Newtona:
$$\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$
Przykład 1:
Piłka o masie 0,4 kg leci z prędkością 15 m/s i zostaje odbita z prędkością 20 m/s w przeciwnym kierunku. Czas kontaktu z rakietą wynosi 0,05 s. Oblicz siłę.
Rozwiązanie:
- Δp = m(v₂ - v₁) = 0,4 · (20 - (-15)) = 0,4 · 35 = 14 kg·m/s
- F = Δp/Δt = 14/0,05 = 280 N
---
Zasada zachowania pędu
> W układzie izolowanym (bez sił zewnętrznych) całkowity pęd układu jest stały.
$$\vec{p}_{przed} = \vec{p}_{po}$$
$$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'$$
---
Zderzenia
1. Zderzenie doskonale sprężyste:
- Zachowany pęd: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'
- Zachowana energia kinetyczna: ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²
- Przykład: zderzenie kul bilardowych
2. Zderzenie doskonale niesprężyste (plastyczne):
- Ciała po zderzeniu poruszają się razem (v₁' = v₂' = v')
- Zachowany pęd: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v'
- Energia kinetyczna NIE jest zachowana (część zamienia się w energię wewnętrzną)
- Prędkość po zderzeniu:
Przykład 2:
Wagon o masie 10 000 kg jedzie z prędkością 3 m/s i zderza się z wagonem o masie 5 000 kg stojącym na torach. Wagony łączą się. Oblicz prędkość po zderzeniu.
Rozwiązanie:
- v' = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) = (10000 · 3 + 5000 · 0)/(10000 + 5000)
- v' = 30000/15000 = 2 m/s
Sprawdzenie zachowania pędu:
- Przed: p = 10000 · 3 = 30000 kg·m/s
- Po: p = 15000 · 2 = 30000 kg·m/s ✓
Strata energii kinetycznej:
- Przed: Ek = ½ · 10000 · 9 = 45000 J
- Po: Ek = ½ · 15000 · 4 = 30000 J
- Strata: ΔEk = 15000 J = 15 kJ (zamieniona na ciepło i deformację)
---
Odrzut (ruch odrzutowy)
Zasada zachowania pędu wyjaśnia ruch odrzutowy (rakiet, armat, itp.):
Układ początkowo w spoczynku (p = 0):
$$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$
$$v_1 = -\frac{m_2}{m_1} v_2$$
Przykład 3:
Strażak o masie 80 kg stoi na łyżwach i trzyma wąż strażacki. Woda (5 kg/s) wypływa z prędkością 20 m/s. Jakie przyspieszenie uzyskuje strażak?
Rozwiązanie:
- Siła odrzutu: F = Δm/Δt · v = 5 · 20 = 100 N
- a = F/m = 100/80 = 1,25 m/s²
---
Podsumowanie zasad zachowania
| Zasada | Warunek | Wzór |
|--------|---------|------|
| Zachowania pędu | Układ izolowany | Σp = const |
| Zachowania energii | Brak sił niezachowawczych | Ek + Ep = const |
| Zachowania energii całkowitej | Zawsze | E_cał = const |