Praca, moc i energia

Praca, moc i energia

---

Praca mechaniczna (W)

Praca to iloczyn skalarny siły i przemieszczenia. Praca jest wykonywana, gdy siła powoduje przemieszczenie ciała.

$$W = F \cdot s \cdot \cos\alpha$$

Gdzie:

• W — praca [J] (dżul)
• F — siła [N]
• s — przemieszczenie [m]
• α — kąt między kierunkiem siły a kierunkiem przemieszczenia

Przypadki szczególne:

• α = 0° → W = F · s (siła zgodna z ruchem — praca dodatnia)
• α = 90° → W = 0 (siła prostopadła do ruchu — praca zerowa)
• α = 180° → W = -F · s (siła przeciwna do ruchu — praca ujemna, np. tarcie)

1 J = 1 N · 1 m — praca wykonana przez siłę 1 N na drodze 1 m.

Przykład 1:
Ciągniemy walizkę siłą F = 50 N pod kątem α = 60° do poziomu na odległość 20 m. Oblicz pracę.

Rozwiązanie:

• W = F · s · cosα = 50 · 20 · cos60° = 50 · 20 · 0,5 = 500 J

---

Moc (P)

Moc to praca wykonana w jednostce czasu — mówi o szybkości wykonywania pracy.

$$P = \frac{W}{t}$$

Lub gdy siła i prędkość są stałe:
$$P = F \cdot v$$

Jednostka: 1 W (wat) = 1 J/s

Inne jednostki mocy:

• 1 kW = 1000 W
• 1 KM (koń mechaniczny) = 735,5 W
• 1 MW = 10⁶ W

Przykład 2:
Dźwig podnosi ładunek o masie 500 kg na wysokość 12 m w czasie 30 s. Oblicz moc dźwigu.

Rozwiązanie:

• W = mgh = 500 · 10 · 12 = 60 000 J
• P = W/t = 60 000/30 = 2000 W = 2 kW

---

Energia kinetyczna (Ek)

Energia związana z ruchem ciała:

$$E_k = \frac{1}{2} m v^2$$

Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej:
Praca siły wypadkowej jest równa zmianie energii kinetycznej:
$$W_{wyp} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$

Przykład 3:
Samochód o masie 1200 kg jedzie z prędkością 90 km/h. Oblicz jego energię kinetyczną.

Rozwiązanie:

• v = 90/3,6 = 25 m/s
• Ek = ½mv² = ½ · 1200 · 625 = 375 000 J = 375 kJ

---

Energia potencjalna grawitacyjna (Ep)

Energia związana z położeniem ciała w polu grawitacyjnym:

$$E_p = m \cdot g \cdot h$$

Gdzie h — wysokość nad przyjętym poziomem odniesienia.

---

Energia potencjalna sprężystości

$$E_{spr} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2$$

---

Zasada zachowania energii mechanicznej

W układzie izolowanym (bez sił niezachowawczych, jak tarcie):

$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$$

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$

Energia mechaniczna całkowita:
$$E_{mech} = E_k + E_p = const$$

Przykład 4:
Piłka spada z wysokości h = 20 m (v₀ = 0). Jaką prędkość ma tuż przed uderzeniem w ziemię? (pomijamy opór powietrza)

Rozwiązanie (z zasady zachowania energii):

• mgh = ½mv² (masa się skraca!)
• v = √(2gh) = √(2 · 10 · 20) = √400 = 20 m/s

Przykład 5:
Sanki o masie 30 kg zjeżdżają ze wzniesienia o wysokości 5 m. Na dole wzniesienia mają prędkość 8 m/s. Ile energii straciły na pokonanie tarcia?

Rozwiązanie:

• Ep = mgh = 30 · 10 · 5 = 1500 J
• Ek = ½mv² = ½ · 30 · 64 = 960 J
• Energia stracona na tarcie: ΔE = 1500 - 960 = 540 J

---

Sprawność (η)

$$\eta = \frac{W_{użyteczna}}{W_{całkowita}} \cdot 100\%$$

Sprawność zawsze < 100% (II zasada termodynamiki).