Fizyka kwantowa i teoria względności — wprowadzenie

Fizyka kwantowa i teoria względności

---

Promieniowanie ciała doskonale czarnego

Ciało doskonale czarne — ciało pochłaniające całe padające promieniowanie.

Prawo Wiena — długość fali odpowiadająca maksimum emisji:
$$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$$
Gdzie b = 2,898 · 10⁻³ m·K (stała Wiena).

Prawo Stefana-Boltzmanna — moc promieniowania:
$$P = \sigma \cdot S \cdot T^4$$
Gdzie σ = 5,67 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴).

Katastrofa ultrafioletowa — fizyka klasyczna przewidywała nieskończoną energię promieniowania dla krótkich fal. Problem rozwiązał Max Planck w 1900 roku, wprowadzając kwantyzację energii.

---

Hipoteza Plancka (1900)

Energia promieniowania jest emitowana i pochłaniana w porcjach (kwantach):

$$E = h \cdot f = \frac{hc}{\lambda}$$

Stała Plancka: h = 6,626 · 10⁻³⁴ J·s

To było rewolucyjne — energia jest „ziarnista", nie ciągła!

---

Efekt fotoelektryczny (Einstein, 1905)

Gdy światło o odpowiedniej częstotliwości pada na metal, wybija z niego elektrony.

Równanie Einsteina dla efektu fotoelektrycznego:
$$E_{foton} = W + E_k$$
$$h \cdot f = W + \frac{1}{2}m_e v^2$$

Gdzie:

• hf — energia fotonu padającego
• W = hf₀ — praca wyjścia (energia potrzebna do wyrwania elektronu z metalu)
• Ek — energia kinetyczna wybitego elektronu
• f₀ — częstotliwość progowa (minimalna częstotliwość wywołująca efekt)

Kluczowe obserwacje:

• Poniżej częstotliwości progowej f₀ efekt nie zachodzi, niezależnie od natężenia światła
• Energia elektronów zależy od częstotliwości światła, nie od natężenia
• Liczba wybitych elektronów zależy od natężenia światła
• Efekt zachodzi natychmiast (brak opóźnienia)

Prace wyjścia wybranych metali:

| Metal | W [eV] | f₀ [Hz] |
|-------|--------|---------|
| Cez (Cs) | 2,1 | 5,1·10¹⁴ |
| Potas (K) | 2,3 | 5,6·10¹⁴ |
| Sód (Na) | 2,3 | 5,6·10¹⁴ |
| Cynk (Zn) | 4,3 | 1,04·10¹⁵ |
| Platyna (Pt) | 6,4 | 1,55·10¹⁵ |

Przykład 1:
Światło ultrafioletowe o długości fali λ = 250 nm pada na płytkę sodową (W = 2,3 eV). Oblicz maksymalną energię kinetyczną fotoelektronu.

Rozwiązanie:

• E_foton = hc/λ = (6,626·10⁻³⁴ · 3·10⁸)/(250·10⁻⁹) = 7,95·10⁻¹⁹ J ≈ 4,97 eV
• Ek = E_foton - W = 4,97 - 2,3 = 2,67 eV ≈ 4,27·10⁻¹⁹ J

---

Dualizm korpuskularno-falowy

Hipoteza de Broglie'a (1924):
Każda cząstka materii ma przypisaną falę (falę de Broglie'a):

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

Przykład 2:
Elektron porusza się z prędkością v = 10⁶ m/s. Oblicz długość fali de Broglie'a.

Rozwiązanie:

• λ = h/(m·v) = 6,626·10⁻³⁴/(9,109·10⁻³¹ · 10⁶)
• λ = 6,626·10⁻³⁴/9,109·10⁻²⁵ ≈ 7,27 · 10⁻¹⁰ m ≈ 0,727 nm

To porównywalne z odległościami międzyatomowymi — dlatego elektrony ulegają dyfrakcji na kryształach!

---

Zasada nieoznaczoności Heisenberga (1927)

Nie można jednocześnie dokładnie zmierzyć położenia i pędu cząstki:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$

Gdzie ℏ = h/(2π) ≈ 1,055 · 10⁻³⁴ J·s (zredukowana stała Plancka).

Analogicznie dla energii i czasu:
$$\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$

To nie jest ograniczenie aparatury — to fundamentalna właściwość natury!

---

Szczególna teoria względności (Einstein, 1905)

Postulaty:

• Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia
• Prędkość światła w próżni jest stała i taka sama we wszystkich układach: c = 3 · 10⁸ m/s

Czynnik Lorentza:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Dla v << c: γ ≈ 1 (efekty relatywistyczne pomijalne)
Dla v → c: γ → ∞

---

Dylatacja czasu

Zegar poruszający się z prędkością v „chodzi wolniej" z perspektywy obserwatora nieruchomego:

$$\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$$

Gdzie Δt₀ — czas własny (mierzony w układzie poruszającym się).

Przykład: muony kosmiczne — ich czas życia w laboratorium wynosi 2,2 μs, ale dzięki dylatacji czasu (lecą z prędkością ~0,998c) „żyją" ~35 μs i docierają do powierzchni Ziemi.

---

Skrócenie Lorentza

Długość ciała w kierunku ruchu ulega skróceniu:

$$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$$

---

Równoważność masy i energii

Najsłynniejszy wzór fizyki:

$$E = mc^2$$

Gdzie:

• E — energia spoczynkowa [J]
• m — masa spoczynkowa [kg]
• c — prędkość światła = 3 · 10⁸ m/s

Energia całkowita cząstki relatywistycznej:
$$E = \gamma mc^2$$

Pęd relatywistyczny:
$$p = \gamma mv$$

Związek energii z pędem:
$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Dla fotonu (m = 0):
$$E = pc$$

Przykład 3:
Ile energii wyzwoli się z całkowitej anihilacji 1 g materii?

Rozwiązanie:

• E = mc² = 0,001 · (3·10⁸)² = 0,001 · 9·10¹⁶ = 9 · 10¹³ J = 90 TJ

Dla porównania: bomba atomowa zrzucona na Hiroszimę uwolniła ~6,3 · 10¹³ J.

---

Stałe fizyczne — podsumowanie

| Stała | Symbol | Wartość |
|-------|--------|---------|
| Prędkość światła | c | 3 · 10⁸ m/s |
| Stała Plancka | h | 6,626 · 10⁻³⁴ J·s |
| Ładunek elementarny | e | 1,602 · 10⁻¹⁹ C |
| Masa elektronu | mₑ | 9,109 · 10⁻³¹ kg |
| Masa protonu | mₚ | 1,673 · 10⁻²⁷ kg |
| Stała Boltzmanna | k_B | 1,381 · 10⁻²³ J/K |
| Stała grawitacyjna | G | 6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² |
| Stała Avogadra | Nₐ | 6,022 · 10²³ 1/mol |
| Stała gazowa | R | 8,314 J/(mol·K) |
| Stała Stefana-Boltzmanna | σ | 5,67 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) |