Kinematyka — ruch jednostajny i przyspieszony

Kinematyka — nauka o opisie ruchu

Kinematyka to dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu ciał bez analizowania jego przyczyn. Opisujemy ruch za pomocą wielkości takich jak: położenie, droga, przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.

---

Podstawowe pojęcia

Układ odniesienia — ciało lub układ ciał, względem którego opisujemy ruch. Ruch jest zawsze względny — ten sam obiekt może być w spoczynku względem jednego układu, a w ruchu względem innego.

Tor ruchu — linia, po której porusza się ciało. Jeśli tor jest linią prostą, mówimy o ruchu prostoliniowym. Jeśli jest okręgiem — o ruchu po okręgu.

Droga (s) — długość toru pokonanego przez ciało. Jest wielkością skalarną (zawsze ≥ 0). Jednostka: metr [m].

Przemieszczenie (Δr) — wektor łączący położenie początkowe z końcowym. Może być ujemne. |Δr| ≤ s.

Prędkość średnia:
$$v_{śr} = \frac{s}{t}$$

Prędkość chwilowa — prędkość w danej chwili czasu (pochodna położenia po czasie).

Przyspieszenie:
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$$

---

Ruch jednostajny prostoliniowy (ruch jednostajny)

Ciało porusza się ze stałą prędkością po linii prostej. Przyspieszenie a = 0.

Równania ruchu jednostajnego:

| Wielkość | Wzór | Jednostka |
|----------|------|-----------|
| Droga | s = v · t | [m] |
| Prędkość | v = s / t = const | [m/s] |
| Położenie | x(t) = x₀ + v · t | [m] |

Wykresy ruchu jednostajnego:

• Wykres s(t): linia prosta przechodząca przez początek (nachylenie = prędkość)
• Wykres v(t): linia pozioma (v = const)
• Pole pod wykresem v(t) = droga przebyta przez ciało

Przykład 1:
Samochód jedzie ze stałą prędkością v = 72 km/h. Jaką drogę pokona w ciągu 2 minut?

Rozwiązanie:

• Zamieniamy jednostki: v = 72 km/h = 72/3,6 = 20 m/s
• t = 2 min = 120 s
• s = v · t = 20 · 120 = 2400 m = 2,4 km

---

Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy (MRUA)

Ciało porusza się z przyspieszeniem stałym a = const ≠ 0.

Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego:

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Prędkość | v = v₀ + a · t |
| Droga | s = v₀ · t + ½ · a · t² |
| Droga (bez czasu) | v² = v₀² + 2 · a · s |
| Droga średnia | s = ½(v₀ + v) · t |

Gdy ciało startuje z v₀ = 0:

• v = a · t
• s = ½ · a · t²
• v² = 2 · a · s

Wykresy ruchu jednostajnie przyspieszonego:

• Wykres v(t): linia prosta rosnąca (nachylenie = przyspieszenie a)
• Wykres s(t): parabola (krzywa kwadratowa)
• Wykres a(t): linia pozioma (a = const)

Przykład 2:
Motocykl rusza z miejsca (v₀ = 0) z przyspieszeniem a = 3 m/s². Jaką prędkość osiągnie po 8 sekundach i jaką drogę pokona?

Rozwiązanie:

• v = v₀ + a · t = 0 + 3 · 8 = 24 m/s (= 86,4 km/h)
• s = ½ · a · t² = ½ · 3 · 64 = 96 m

---

Ruch jednostajnie opóźniony (hamowanie)

To szczególny przypadek MRUA, gdy przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do prędkości (a < 0).

Droga hamowania:
$$s_h = \frac{v_0^2}{2|a|}$$

Czas hamowania:
$$t_h = \frac{v_0}{|a|}$$

Przykład 3:
Samochód jadący z prędkością 90 km/h hamuje z opóźnieniem a = 5 m/s². Oblicz drogę i czas hamowania.

Rozwiązanie:

• v₀ = 90 km/h = 25 m/s
• Droga hamowania: s = v₀²/(2a) = 625/10 = 62,5 m
• Czas hamowania: t = v₀/a = 25/5 = 5 s

---

Spadek swobodny

Ruch ciała pod wpływem samej siły ciężkości (bez oporów powietrza). Jest to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem g.

Przyspieszenie ziemskie: g ≈ 9,81 m/s² ≈ 10 m/s²

| Wielkość | Wzór |
|----------|------|
| Prędkość | v = g · t |
| Droga (wysokość) | h = ½ · g · t² |
| Prędkość (bez czasu) | v² = 2 · g · h |
| Czas spadku | t = √(2h/g) |

Przykład 4:
Kamień spada z wieży o wysokości 80 m. Oblicz czas spadku i prędkość, z jaką uderzy o ziemię (g = 10 m/s²).

Rozwiązanie:

• t = √(2h/g) = √(160/10) = √16 = 4 s
• v = g · t = 10 · 4 = 40 m/s (= 144 km/h)

---

Rzut pionowy w górę

Ciało wyrzucone pionowo w górę z prędkością v₀ zwalnia z opóźnieniem g.

Maksymalna wysokość:
$$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Czas wznoszenia = czas spadku:
$$t_{wzn} = \frac{v_0}{g}$$

Czas całkowity lotu:
$$t_{cał} = \frac{2v_0}{g}$$

---

Tabela stałych i jednostek kinematyki

| Wielkość | Symbol | Jednostka SI |
|----------|--------|-------------|
| Droga | s | m (metr) |
| Czas | t | s (sekunda) |
| Prędkość | v | m/s |
| Przyspieszenie | a | m/s² |
| Przyspieszenie ziemskie | g | 9,81 m/s² |

Przeliczanie jednostek prędkości:

• 1 m/s = 3,6 km/h
• 1 km/h = 1/3,6 m/s ≈ 0,278 m/s
• Szybki sposób: km/h → m/s dzielimy przez 3,6